Logica del Primo Ordine - FOL

Introduzione

Per logica intendiamo un linguaggio formale usato per rappresentare informazioni e derivare conseguenze.

Ogni logica è definita da una sintassi e una semantica

• Sintassi - È l’insieme delle sequenze finite di simboli ammesse dal linguaggio ovvero le formule, ogni simbolo usato nelle formule appartiene ad un insieme cioè l’alfabeto.
• Semantica - Definisce il significato di ogni formula della logica, ovvero la sua verità in diversi mondi possibili.

Esempio - Il linguaggio dell’aritmetica

Sintassi:

• $x+2\ge y$ è una formula ma $x2+y\ge$ non lo è

Semantica:

• $x+2\ge y$ è vero se il valore di $x+2$ non è minore del valore di $y$
• $x+2\ge y$ è vero in un mondo dove $x=7$ e $y=1$
• $x+2\ge y$ è falso in un mondo dove $x=0$ e $y=6$

Dato mondo $m$ e la formula $\rho :m\models \rho$ se $\rho$ è vera nel mondo $m$ si dice che $m$ è modello di $\rho$

Sintassi

La sintassi definisce la struttura delle formule, per definire la sintassi dobbiamo stabilire:

• Quali simboli appartengono all’alfabeto della logica
• Quali sequenze finite di simboli compongono il linguaggio (formule)

La sintassi definisce soltanto quali sono le formule ma non il loro significato.

Semantica

Definisci il significato delle formule ovvero la sua verità nei diversi mondi. In ogni mondo possibile una formula può essere vera o falsa.

Di solito si dà significato alle formule più semplici, quelle atomiche ovvero che non possono essere ridotte ulteriormente e poi usando le regole della logica si stabilisce un significato alla altre formule.

È quindi simile alla valutazione di un’espressione algebrica.