Classi di Equivalenza

Dato $R\subseteq A\times A$ la classe di equivalenza di un elemento $a\in A$ è data da: $[a]=\{x\in A|(a,x)\}$ La classe di equivalenza di un elemento è quindi l’insieme degli elementi con il quale è associato. L’insieme delle classi di equivalenza si chiama Quoziente ed è quindi un insieme di insiemi disgiunti la cui unione ci restituisce l’insieme originale.

Esempio: Dato A trovare una relazione con 3 classi di equivalenza $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ $R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,6),(6,5)\}$ Le classi di equivalenza per ogni elemento sono: $[1]=\{1,2\}=[2]$ $[3]=\{3,4\}=[4]$ $[5]=\{5,6\}=[6]$ Le classi uguali le consideriamo una sola volta, può anche capitare che la relazione si uguale al prodotto cartesiano, in questo caso avremo una sola classe di equivalenza. Notiamo che unendo i 3 insiemi otteniamo A.