Polinomi di Taylor

Notazione “o piccolo”

Si chiama $o(h^n)(n\in \mathbb{N})$ una qualsiasi quantità tale che ${\lim }_{h\to 0}\frac{o(h^n)}{h^n}=0$ Quindi una qualsiasi quantità “più veloce” di $h^n$ Esempi $h^2$ è $o(h)$? Si perché ${\lim }_{h\to 0}\frac{h^2}{h}=0$ $h$ è $o(h)$? No perché ${\lim }_{h\to 0}\frac{h}{h}=1$

Proprietà

• $h^k\ast o(h^n)=o(h^{n+k})$
• $o(h^k)\ast o(h^n)=o(h^{n+k})$
• $o(h^n)\pm o(h^n)=o(h^n)$
• $M\in \mathbb{R}Mo(h^n)=o(h^n)$

Per come utilizzeremo questa notazione ci conviene scrivere: ${\lim }_{x_0\to 0}\frac{o((x-x_0{)}^n)}{(x-x_0{)}^n}=0$ Una funzione $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o((x-x_0{)}^1)$ Nella formula utilizziamo una sola derivata perché l’esponente di $x-x_0$ è 1. Caso Generale $f(x)=P_n(x;x_0)+o((x-x_0{)}^n)$

Quindi $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\to$ Questa parte ci indica la tangente nel punto $x_0,f(x_0)$ $+o((x-x_0{)}^1)$ un infinitesimo

Otteniamo che Se $f(x)$ è derivabile in $x_0$, $f(x)$ = Polinomio di 1° grado ($f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$) + infinitesimo di ordine superiore a 1 ovvero $o((x-x_0))$

Nel caso in cui avessimo $f(x)$ = polinomio di 2° grado più infinitesimo di ordine superiore a 2 ovvero $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2+o((x-x_0{)}^2)$ E se arriviamo al terzo grado? $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+o((x-x_0{)}^3)$ Quindi in realtà il denominatore è il fattoriale del grado e non il grado stesso

Teorema - Formula di Taylor

$f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}{x}_0}{k!}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n)$ Quindi ogni iterazione aggiungiamo un polinomio di grado $\le n$ e un infinitesimo di ordine superiore a $n$.

Esempi

$f(x)=x^3+x^2+x+2$ $T_1(f(x);0)=?$

Cerco un polinomio di primo grado tale che $f(x)=T_1(f(x);0)+o(x^1)$ Quindi $f(x)=o(x)+o(x)+x+2=2+x+o(x)$ Gli o piccoli li prendiamo dalle x di grado superiore al primo

Teorema

Il polinomio di Taylor di ordine n di un polinomio di grado n è il polinomio stesso.

Sviluppi di Taylor

$sen(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+1})$ $cos(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k+!}+o(x^{2n})$ $e^x={\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$ Quindi $sen(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-...$ $cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-...$

Esercizi

Per svolgere gli esercizi dobbiamo arrivare ad ottenere un polinomio di grado uguale o inferiore al polinomio di Taylor + un o piccolo di x elevata al grado del polinomio.